2016河北省直事业单位笔试备考:容斥原理
河北华图 寇洪秋 | 2016-05-05
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2016事业单位笔试备考:容斥原理
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容斥原理问题是事业单位考试中一个公共的重点和难点问题，下面华图教育专家将就容斥原理及相应解题方法进行说明，以期在同学在备考过程中做到有的放矢，提高备考效率。
所谓容斥原理其本质只是一种计数方法，是教给我们如何使计数过程更简单的，那么这到底是一种什么样的计数方法呢?接下来让我们一起走进它，了解了它的本质，你会发现容斥原理问题真的很简单!
首先华图帮您解读一下“容斥”这两个字，既然是计数方法，“容”便是先把符合条件的先“包容”进来，在这个过程中可能会产生重复的计数，所以“斥”便是把重复计算的部分“排斥”出去，很终达到正确的计数效果。
事业单位考试中关于容斥原理的问题一般有两集合容斥原理问题和三集合容斥原理问题，让很多同学苦恼的问题便是这些繁琐的公式和各种变形，华图专家在这里提醒大家，千万不要进入死记公式的误区，不然你就是记住了也不会用，理解了其本质才能达到举一反三，融会贯通的效果。
为了方便理解，同学可将符合某个条件的集合看做图形的面积，下面结合文氏图对公式进行深入理解，两集合容斥原理公式：
|AUB|=|A|+|B|-|A∩B| =总数-都不符合
公式的由来：在对符合A或者符合B的面积进行计数时，我们将圆A的面积和圆B的面积加起来，(算A时已经包括了AB这部分，加B时又将AB算了一次)这个过程中图中AB部分被重复计算了一次，所以要再减去多算的这一次，公式由此而来。而总数是方框的面积，都不符合的是方框内圆圈外的部分。
理解到这里我们自己可以对公式进行变形：总数—都不符合=只符合A+只符合B+符合A且符合B 即圆A内蓝色部分+AB白色部分+圆B内黄色部分
再变 符合A+符合B=只符合A+只符合B+2倍符合A且符合B
这些如果都理解了，恭喜你已经初步理解了容斥原理问题了
接下来趁热打铁，让我们搞定三集合容斥原理问题，
三集合容斥原理基本公式：
|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=总数-都不符合
公式由来：如下图，我们在对符合A或者符合B或者符合C的面积进行计数时A+B+C的过程中对A和B的交集部分、B和C的交集部分、A和C的交集部分算了两次，对A、B、C的交集部分即下图中绿色部分ABC算了三次，而我们需要的是每个部分只算一次，所以对两个的交集要减去一次，到这里有同学又不明白了那ABC部分不是算了三次吗?为什么不减去两次，反而还要加上一次呢?注意 在对两个的交集减去一次的过程中(-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|)绿色部分ABC也被减了三次，前面|A|+|B|+|C|加了三次，后面-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|又减了三次，说明ABC部分没有计算在内即算了0次，所以很后又+|A∩B∩C|此步骤的由来。
这里需要强调的是对容斥原理公式和图形意义的理解是首要的，基本公式以外的变形公式不需要强行记忆，很后让我们结合例题检验一下自己对容斥原理问题的理解程度：
【例】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐剂添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有几种?( )
A14 B21 C23 D32
【答案】C
【解析】：首先要明确题干中给出的过期、不合格、不规范为符合条件，三项全合格为三项都不符合条件，如图用文氏图表示检查产品的种数，三项全部合格食品的种数就等于总数减去至少一项不合格的种数，即 方框的面积减去三个圆覆盖住的面积。由三集合容斥原理变形公式：总数—都不符合=符合A+符合B+符合C—1倍只符合两个—2倍三个条件都符合=7+9+6-1×5-2×2=13=36-都不符合 所以都不符合的等于36-13=23即三项全部合格的食品有23种。
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